全连接神经网络模型是一种多层感知机(MLP)，感知机的原理是寻找类别间最合理、最具有鲁棒性的超平面，最具代表的感知机是SVM支持向量机算法。神经网络同时借鉴了感知机和仿生学，通常来说，动物神经接受一个信号后会发送各个神经元，各个神经元接受输入后根据自身判断，激活产生输出信号后汇总从而实现对信息源实现识别、分类，一个典型的神经网络如下图所示：

上图是典型的全连接神经网络模型(DNN),有的场合也称作深度神经网络，与传统的感知机不同，每个结点和下一层所有结点都有运算关系，这就是名称中‘全连接’的含义，上图的中间的一层也称为隐藏层，全连接神经网络通常有多个隐藏层，增加隐藏层可以更好分离数据的特征，但过多的隐藏层也会增加训练时间以及产生过拟合。

    全连接神经网络与感知机一样，仍然是利用超平面提取样本数据特征，在SVM和逻辑回归曾介绍过，感知机通过核函数将样本数据升维后可实现线性可分，寻找数据各类别分界线、平面的算法也称为判别式算法(Discriminative)，判别式算法本质是利用条件概率得到分类界限；还有一类算法叫生成式(Generative)，利用联合概率完成数据的分类，典型的生成式算法如隐马尔科夫模型、朴素贝叶斯等。下图为判别式与生成式两种算法的特点:

    判别式常用‘分界线’把各类数据隔开；生成式常把分类数据处理成'簇'或'团'的形式。生成式有较好的拟合性能，同时利用生成式可以转化为判别式模型，生成式模型对样本要求很高，由于生成式需要联合概率，当样本属性较多时无法搜集到对应数据用于模型学习。

    观察上图全神经网络模型，输入数据是一个3维向量，隐藏层有5个结点，意味着通过线性映射将3维向量映射为一个5维向量，最后再变为一个2维向量输出。当原输入数据是线性不可分时，全连接神经网络是通过激活函数产生出非线性输出，常见的激活函数有Sigmoid,Tanh,Relu，分别如下图所示:

神经网络训练分为前向传播、后向传播两个过程，前向传播数据沿输入到输出后计算损失函数值，后向传播则是一个优化过程，利用梯度下降法减小前向传播产生的损失函数值，从而优化、更新参数，接下来详细介绍这两个过程。

一、前向传播(FP)

    以一个线性回归问题为例，下图是蓝色点代表样板点，样本点大致符合线性方程y=2.3x +4.7走势，红色线标注出目标直线方程。

选择的全连接神经网络输入维度是1维，两个隐藏层，其中第一个隐藏层有2个结点，第二个隐藏层含5个结点，输出维度为1维，效果图如下：

本例是线性回归问题，选用的损失函数是平方误差函数，如果全连接神经网络用于分类，一般选择交叉熵作为损失函数。上图的神经网络经过第一次隐藏层后，一维变量转换为2维，再经过第二层隐藏层后由2维变为5维向量，如果没有激活函数引入，这两个过程是简单的线性映射过程，以结点1、2传递到结点3过程为例，用矩阵可表示该过程：

通常将x₁w₁₃+x₂w₂₃称为结点3的输入，用net₃表示, net₃再经过激活函数处理后变为结点3的输出，不妨用out₃表示结点3的输出：

out₃=σ(net₃)

σ表示激活函数，本例中使用Sigmoid函数作为激活函数，在逻辑回归一篇中曾介绍过Sigmoid函数，设y=σ(x),其导数为：

σ'(x)=σ(x)(1-σ(x))=y(1-y)

激活函数可使结点产生非线性输出进而拟合复杂的曲线特征，将输入和输出结合起来，上图中结点3放大后可用下图来表示：

结点中∑代表输入，σ表示激活函数输出，有两点需要注意：

1、目前神经网络训练中已经很少使用Sigmoid函数，Sigmoid函数容易过早的梯度为0，当神经网络层数、结点增多时，这种特性易造成梯度消失，实践中大多采用Relu函数，Relu函数表示为：

Relu(x)=max{0,x}

当输入值x大于0时，Relu函数梯度始终为1。另外观察激活函数可以发现：当输入值出了某个范围之后梯度(函数斜率)变化不显著产生了梯度消失，一般将数据输入到激活函数前通过Batch Normalize做归一化处理，可有效的解决梯度消失。

2、当网络层数变多时训练结果正确率反而下降，可通过ResNet（残差网络）将部分层跳跃直连：

ResNet根据数据实际分布情况，调整权重运算、训练出恒等子网络。

3、当结点多时，全连接神经网络很容易过拟合，Alex、Hinton在其论文《ImageNet Classification with Deep Convolutional Neural Networks》中用到了Dropout算法，用于防止接神经网络过拟合。Dropout事先设定一个概率，如设定概率为0.5，那么每个结点在前向传播时会有50%被激活，也有50%被关闭进而停止工作，Dropout本质是减少结点间相互依赖，利用取平均值的方法在训练过程中产生出一个投票策略，Dropout效果如下图：

利用pytorch演示全连接神经网络实现线性回归的过程：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import torch
from torch import nn, optim
BATCH_SIZE= 20
learning_rate = 0.02
#保存模型
savePath='model/regressmodel.pkl'
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
#继承nn.Module类，自定义DNN
class Activation_Net(nn.Module):
    def __init__(self, in_dim, n_hidden_1,  n_hidden_2,  out_dim):
        super(Activation_Net, self).__init__()
        self.layer1 = nn.Sequential( nn.Linear(in_dim, n_hidden_1  ),    nn.Sigmoid())
        self.layer2= nn.Sequential(nn.Linear(n_hidden_1, n_hidden_2),   nn.Sigmoid())
        self.layer3= nn.Sequential( nn.Linear(n_hidden_2, out_dim  ) )

    def forward(self, x):
        x = self.layer1(x)
        x = self.layer2(x)
        x = self.layer3(x)
        return x

def loadsamples(num):
    x =torch.linspace(0,3,num)
    y=2.3*x +4.7  +torch.randn(1,num)
    y_=2.3*x +4.7
    return x,y,y_

def train():
    x, y, y_=loadsamples(100)
    model = Activation_Net(1,2, 5,  1)
    model.train()
    criterion = nn.MSELoss()
    optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=learning_rate)
    epoch = 0
    iternum = 200
    for i in range(iternum):
        for j in range(x.shape[0]):
            out = model(torch.tensor([x[j].item()]))
            loss = criterion(out, y_[j])
            print_loss = loss.data.item()
            optimizer.zero_grad()
            loss.backward()
            optimizer.step()
            epoch += 1
            if epoch % 100 == 0:
                print('迭代轮: {}, 错误率: {:.4}'.format(epoch, print_loss), end='\r', flush=True)
    torch.save(model, savePath)


def test():
    x, y, y_ = loadsamples(100)
    model = torch.load(savePath)
    #测试时切换到到eval模式，取消Dropout激活功能，本例没有使用Dropout
    model.eval()
    x_=torch.from_numpy( np.expand_dims(x.detach().numpy(),1)    )
    predict = model(x_ )
    p1=plt.scatter(x,y,c='cornflowerblue')
    p2=plt.plot(x, y_, c='crimson',lw=2)
    p3=plt.plot(x, predict.detach().numpy(), c='gold',lw=2)
    plt.legend(['实际函数','神经网络', '样本']  )
    plt.show()

if __name__=='__main__':
     train()
     #测试模型
     test()

请先安装pytorch库，另外在程序目录下新建model目录用于保存模型，测试效果图如下：

黄色线代表神经网络训练出的模型，由于加入了激活函数，所以该模型具有非线性特征。

二、反向传播(BP)

    反向传播根据前向传播产生的损失函数值，沿输出端向至输入端优化每层之间参数，在此过程中运算利用梯度下降法优化参数，神经网络求解参数本质上仍然是规划中求最优解问题，现代机器学习框架如Tensorflow、pytorch、keras将梯度下降法、Booting、Bagging这些优化中常用技巧封装起来，开发者只要专注于数据建模即可。

2.1 输出层权重更新    

以之前代码为例，结点8为输出端，代码：

 self.layer3= nn.Sequential( nn.Linear(n_hidden_2, out_dim  ) )

说明结点8输出时并未使用激活函数，结点8的输入等于输出

y=net₈=out₈

利用链式法则,第二个隐藏层到输出结点中权重梯度为：

结合本例，此时w_ij的下标范围i=3,4,5,6,7 ； j=8。求损失函数最小值，则每个权重取梯度反方向则可获得优化：

           ⑴

公式(1)中α称为学习率，在一维搜索中曾详细介绍过α也称为步长系数，在pytorch和tensorflow这些框架中集成的Adam、Momentum、Adagrad、Adadelta等梯度算法会动态的调整步长系数。为了后期推导方便引入输入误差概念，如输出端即结点⑻的输入误差为：

 ②

每层输入误差是用损失函数对该层没经过激活函数前输入向量求导，利用输入误差可以统一推导公式，在以后的其他神经网络中还会继续使用这个概念。另外强调一点，在目前的神经网络框架中，最终输出建议为一个实数即一个标量，如本例结点8输出的是一维标量，这样能确保反向传播时第一层误差是标量对向量、矩阵求导，如果输出时多维时，调用反向传播函数loss.backward时会把多维输出与一个向量做内积变为一个实数，然后回到标量对向量、矩阵求导的状态，向量、矩阵、标量之间求导请参考本站文章：矩阵/向量/标量间相互求导。

2.2 隐藏层之间权重更新   

接下来再看两个隐藏层之间权重更新，即1,2结点与3,4,5,6,7之间权重：

self.layer2= nn.Sequential(nn.Linear(n_hidden_1, n_hidden_2),   nn.Sigmoid())

两个隐藏层间输出使用了激活函数Sigmoid，以结点3输入为例：

net₃=x₁w₁₃+x₂w₂₃ 

结点3输出为:

out₃=σ(net₃)

通过链式法则求两个隐藏层之间两个结点权重w_ij，此时下标范围i=1,2，而j=3,4,5,6,7_：

  _⑶

上式的关键是需要求出，可以继续使用链式法则：

  ④

是结点3,4,5,6,7其中一个结点误差，而第二个隐藏层的输入误差是一个向量：

代入⑶式后，得到隐藏层之间权重梯度：

隐藏层之间权重更新公式为:

本例中输出端是一维的，即只有一个结点8，当输出端是多维度时是一个向量，这时公式④写成：

公式中是输出端第k个分量的输入误差，K（大写）是所有输出端结点的标号，或者说K是结点j所有下游结点集合，如上图中3,4,5,6,7都是结点1,2的下游结点，而8是3,4,5,6,7的下游结点。

三、利用全连接神经网络识别minist数据集

    上例中利用平方差作为损失函数实现了一个线性回归问题，接下来利用交叉熵作为损失函数实现对minist数据集的识别，minist数据集是手写数字的图像样本，DNN识别图像的过程就是把图像正确的归为0-9这10个数字，所以这是一个分类算法的实现，数据集本站下载地址：minist数据集下载，下载后请放在程序目录dataset中，并建目录model用于保存训练后的模型。